【矩阵乘法公式】在数学和计算机科学中，矩阵乘法是线性代数中的一个重要运算。它广泛应用于图像处理、机器学习、物理模拟等领域。矩阵乘法的规则不同于普通的数乘法，其核心在于行与列的对应相乘再求和。
一、矩阵乘法的基本定义
设矩阵 $ A $ 是一个 $ m \times n $ 的矩阵，矩阵 $ B $ 是一个 $ n \times p $ 的矩阵，那么它们的乘积 $ C = AB $ 将是一个 $ m \times p $ 的矩阵。
矩阵 $ C $ 中的每个元素 $ c_{ij} $ 是由矩阵 $ A $ 的第 $ i $ 行与矩阵 $ B $ 的第 $ j $ 列对应元素相乘后求和得到的，即：
$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
$$
二、矩阵乘法的步骤总结
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 确定两个矩阵的维度是否满足乘法条件：第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。 |
| 2 | 确定结果矩阵的维度：结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。 |
| 3 | 对于结果矩阵中的每一个元素 $ c_{ij} $，计算第一矩阵第 $ i $ 行与第二矩阵第 $ j $ 列的点积。 |
| 4 | 重复上述过程，直到所有元素计算完毕。 |
三、矩阵乘法示例
假设矩阵 $ A $ 和 $ B $ 分别为：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
5 & 6 \\
7 & 8
\end{bmatrix}
$$
则乘积 $ C = AB $ 为：
$$
C = \begin{bmatrix}
(1 \cdot 5 + 2 \cdot 7) & (1 \cdot 6 + 2 \cdot 8) \\
(3 \cdot 5 + 4 \cdot 7) & (3 \cdot 6 + 4 \cdot 8)
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
19 & 22 \\
43 & 50
\end{bmatrix}
$$
四、矩阵乘法的性质
| 性质 | 说明 |
| 结合律 | $ (AB)C = A(BC) $ |
| 分配律 | $ A(B + C) = AB + AC $, $ (A + B)C = AC + BC $ |
| 不满足交换律 | 一般情况下 $ AB \neq BA $ |
| 单位矩阵 | 若 $ I $ 为单位矩阵，则 $ AI = IA = A $ |
五、小结
矩阵乘法是一种基于行与列相乘求和的运算，其规则清晰但需要仔细计算。理解并掌握矩阵乘法的公式和步骤，有助于更好地进行线性代数相关的应用和编程实现。
