【驻点怎么求】在数学中，尤其是微积分领域，“驻点”是一个非常重要的概念。它通常出现在函数的极值分析中，是判断函数单调性、凹凸性和极值点的关键工具。那么，什么是驻点？如何求驻点？下面将从定义、方法和实例三个方面进行总结。
一、驻点的定义
驻点（Stationary Point）是指函数在某一点处导数为零的点，即：
$$
f'(x) = 0
$$
在这些点上，函数的切线可能是水平的，因此也被称为“临界点”。需要注意的是，驻点不一定是极值点，还需要进一步判断其是否为极大值点或极小值点。
二、驻点的求法步骤
求驻点的过程一般包括以下几个步骤：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 求出函数的导数 $ f'(x) $ |
| 2 | 解方程 $ f'(x) = 0 $，得到可能的驻点 |
| 3 | 对每个解进行验证，确认是否为驻点 |
| 4 | 可选：利用二阶导数或一阶导数符号变化判断极值性质 |
三、实例解析
以函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 为例：
1. 求导：
$$
f'(x) = 3x^2 - 3
$$
2. 解方程：
$$
3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1, x = -1
$$
3. 验证：
这两个点都是导数为零的点，因此是驻点。
4. 判断极值（可选）：
- 用二阶导数：
$$
f''(x) = 6x
$$
- 当 $ x = 1 $，$ f''(1) = 6 > 0 $，是极小值点；
- 当 $ x = -1 $，$ f''(-1) = -6 < 0 $，是极大值点。
四、总结
| 概念 | 定义 | 方法 |
| 驻点 | 导数为零的点 | 求导 → 解方程 → 验证 |
| 极值点 | 函数的最大或最小值点 | 驻点 + 判断极值性质 |
| 二阶导数法 | 判断驻点是否为极值点 | 若 $ f''(x) > 0 $，极小；若 $ f''(x) < 0 $，极大 |
通过以上步骤，我们可以系统地找到函数的驻点，并进一步分析其性质。掌握驻点的求法，有助于我们更深入地理解函数的变化趋势和图像特征。
