【二项分布公式】在概率论与统计学中，二项分布是一种常见的离散概率分布，用于描述在n次独立的伯努利试验中，成功次数k的概率分布。每个试验只有两种可能的结果：成功或失败，且每次试验的成功概率p保持不变。
一、二项分布的基本概念
- 伯努利试验：每次试验只有两个结果（成功或失败），且每次试验之间相互独立。
- 二项分布：在n次独立的伯努利试验中，成功次数k的概率分布。
- 参数：
- n：试验次数
- p：每次试验成功的概率
- k：成功次数（0 ≤ k ≤ n）
二、二项分布公式
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}
$$
其中：
- $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ 是组合数，表示从n个元素中取出k个的方式数；
- $ p^k $ 是k次成功的概率；
- $ (1-p)^{n-k} $ 是n−k次失败的概率。
三、二项分布的性质
| 属性 | 描述 |
| 期望值 | $ E(X) = np $ |
| 方差 | $ Var(X) = np(1-p) $ |
| 标准差 | $ \sqrt{np(1-p)} $ |
| 对称性 | 当p=0.5时，分布对称；当p≠0.5时，分布偏斜 |
| 适用条件 | 独立重复试验，每次试验只有两种结果 |
四、二项分布的应用场景
- 投掷硬币多次，正面出现的次数；
- 产品质量检测中合格品的数量；
- 某种药物在临床试验中的成功率；
- 顾客是否购买商品的预测模型。
五、二项分布示例表格
| n | p | k | P(X=k) |
| 5 | 0.5 | 2 | 0.3125 |
| 10 | 0.3 | 3 | 0.2668 |
| 8 | 0.2 | 1 | 0.3355 |
| 6 | 0.7 | 4 | 0.3241 |
| 12 | 0.1 | 2 | 0.2301 |
> 注：P(X=k) 的计算基于公式 $ C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} $
六、总结
二项分布是描述独立重复试验中成功次数的概率模型，广泛应用于实际问题中。通过掌握其公式和性质，可以更准确地分析和预测随机事件的发生概率。理解二项分布不仅有助于统计分析，也为后续学习其他概率分布（如泊松分布、正态分布）打下基础。
