【高中导数公式大全】在高中数学中，导数是一个重要的概念，它用于研究函数的变化率、极值、单调性以及曲线的切线等。掌握常见的导数公式是学习微积分的基础。以下是对高中阶段常见导数公式的总结，并以表格形式呈现，方便查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 公式 |
| 和差法则 | $ (f \pm g)' = f' \pm g' $ |
| 积法则 | $ (fg)' = f'g + fg' $ |
| 商法则 | $ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $（$ g \neq 0 $） |
| 链式法则 | $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、复合函数的导数
对于由多个函数组成的复合函数，如 $ y = f(u) $，$ u = g(x) $，其导数为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- 若 $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ y = \ln(x^2 + 1) $，则 $ y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} $
四、高阶导数
高阶导数是指对原函数连续求导多次的结果。例如：
- 一阶导数：$ f'(x) $
- 二阶导数：$ f''(x) = [f'(x)]' $
- 三阶导数：$ f'''(x) = [f''(x)]' $
对于多项式函数，如 $ f(x) = x^4 $，其高阶导数如下：
| 阶数 | 导数 |
| 一阶 | $ 4x^3 $ |
| 二阶 | $ 12x^2 $ |
| 三阶 | $ 24x $ |
| 四阶 | $ 24 $ |
| 五阶及以上 | $ 0 $ |
五、特殊函数的导数
| 函数表达式 | 导数 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec} x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
六、小结
高中阶段的导数公式主要围绕基本初等函数及其组合展开，掌握这些公式有助于快速求解函数的导数，理解函数的增减性和极值点。通过不断练习和应用，可以更加熟练地运用导数解决实际问题。
建议同学们结合例题进行练习，逐步提高对导数的理解与应用能力。
