【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形边角关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。掌握常见的三角函数公式，有助于快速解决相关问题。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行整理。
一、基本定义
设一个直角三角形中，角θ的对边为a，邻边为b，斜边为c，则：
- 正弦（sin）：sinθ = a / c
- 余弦（cos）：cosθ = b / c
- 正切（tan）：tanθ = a / b
- 余切（cot）：cotθ = b / a
- 正割（sec）：secθ = c / b
- 余割（csc）：cscθ = c / a
二、基本恒等式
| 公式 | 表达式 |
| 倒数关系 | sinθ = 1 / cscθ；cosθ = 1 / secθ；tanθ = 1 / cotθ |
| 商数关系 | tanθ = sinθ / cosθ；cotθ = cosθ / sinθ |
| 平方关系 | sin²θ + cos²θ = 1；1 + tan²θ = sec²θ；1 + cot²θ = csc²θ |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变换 | 公式 |
| sin(π/2 - θ) | cosθ |
| cos(π/2 - θ) | sinθ |
| sin(π - θ) | sinθ |
| cos(π - θ) | -cosθ |
| sin(-θ) | -sinθ |
| cos(-θ) | cosθ |
四、和差角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin(A ± B) | sinAcosB ± cosAsinB |
| cos(A ± B) | cosAcosB ∓ sinAsinB |
| tan(A ± B) | (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB) |
五、倍角与半角公式
| 公式 | 表达式 |
| sin2θ | 2sinθcosθ |
| cos2θ | cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ |
| tan2θ | 2tanθ / (1 - tan²θ) |
| sin(θ/2) | ±√[(1 - cosθ)/2] |
| cos(θ/2) | ±√[(1 + cosθ)/2] |
| tan(θ/2) | (1 - cosθ)/sinθ 或 sinθ/(1 + cosθ) |
六、积化和差与和差化积
| 公式 | 表达式 |
| sinAcosB | [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2 |
| cosAsinB | [sin(A+B) - sin(A-B)] / 2 |
| cosAcosB | [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2 |
| sinAsinB | [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2 |
| sinA + sinB | 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| cosA + cosB | 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2] |
| sinA - sinB | 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
| cosA - cosB | -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2] |
七、其他常用公式
| 公式 | 表达式 |
| 正弦定理 | a/sinA = b/sinB = c/sinC |
| 余弦定理 | c² = a² + b² - 2abcosC |
| 三角函数周期性 | sin(θ + 2π) = sinθ；cos(θ + 2π) = cosθ；tan(θ + π) = tanθ |
通过以上内容，我们可以清晰地看到三角函数的基本公式及其应用方式。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对三角函数整体理解的能力。建议结合实际题目练习，加深记忆与应用能力。
