【什么是动态规划】动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种用于解决复杂问题的算法设计方法。它通过将问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解以避免重复计算，从而提高效率。动态规划广泛应用于计算机科学、数学、经济学等领域，尤其适合处理具有重叠子问题和最优子结构的问题。
一、动态规划的核心思想
| 核心概念 | 说明 |
| 最优子结构 | 一个问题的最优解包含其子问题的最优解。即，大问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。 |
| 重叠子问题 | 在递归求解过程中，许多子问题会被多次重复计算。动态规划通过存储这些结果来避免重复计算。 |
| 状态转移方程 | 描述如何从一个或多个子问题的解推导出当前问题的解。是动态规划的关键部分。 |
二、动态规划的基本步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1. 定义状态 | 确定问题中需要保存的信息，通常用数组或表表示。 |
| 2. 状态转移 | 找出状态之间的关系，建立递推公式。 |
| 3. 初始条件 | 确定最简单情况下的解，作为递推的起点。 |
| 4. 计算顺序 | 按照一定顺序计算所有状态，确保在使用某个状态前已计算完成。 |
三、动态规划的应用场景
| 应用领域 | 示例问题 |
| 算法设计 | 最长公共子序列、背包问题、斐波那契数列等 |
| 计算机科学 | 编译器优化、图像处理、路径规划等 |
| 经济与金融 | 投资组合优化、资源分配等 |
| 生物信息学 | DNA序列比对、蛋白质结构预测等 |
四、动态规划与递归的区别
| 对比项 | 动态规划 | 递归 |
| 计算方式 | 自底向上，存储中间结果 | 自顶向下，可能重复计算 |
| 时间复杂度 | 通常较低，如 O(n²) | 可能较高，如 O(2ⁿ) |
| 空间复杂度 | 需要额外空间存储状态 | 一般较少，但可能有栈溢出风险 |
| 适用性 | 适用于重叠子问题的问题 | 适用于无重叠子问题的问题 |
五、动态规划的优缺点
| 优点 | 缺点 |
| 提高算法效率，减少重复计算 | 需要较多内存存储中间结果 |
| 解决复杂问题时逻辑清晰 | 设计状态转移方程较为困难 |
| 适用于多种实际问题 | 不适合所有类型的问题 |
六、总结
动态规划是一种高效解决问题的方法，尤其适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过合理定义状态和状态转移方程，可以有效提升算法性能。虽然学习曲线较陡，但掌握后可广泛应用于多个领域，是编程和算法设计中的重要工具。
