绝对值三角不等式等号成立条件

2025-11-10 11:05:12

问题描述：

绝对值三角不等式等号成立条件，这个怎么处理啊？求快回复！

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2025-11-10 11:05:12

山城老梁

问答领域知识达人

2025-11-10 11:05:12

【绝对值三角不等式等号成立条件】在数学中，绝对值三角不等式是一个非常重要的不等式，广泛应用于代数、分析和几何等领域。其基本形式为：

该不等式表明，两个实数的和的绝对值不超过这两个实数绝对值的和。但有时我们也会遇到等号成立的情况，即：

a + b

\leq

这时，我们需要了解什么情况下这个等号成立。

一、等号成立的条件总结

根据绝对值三角不等式的性质，当且仅当 a 与 b 同号（即同为非负或同为非正）时，等号成立。换句话说，当 a 和 b 的符号一致时，它们的绝对值相加等于它们的和的绝对值。

为了更清晰地理解这一结论，我们可以从以下几个方面进行分析：

1. 同号情况：

- 如果 $ a \geq 0 $ 且 $ b \geq 0 $，则 $ a + b \geq 0 $，此时：

- 如果 $ a \leq 0 $ 且 $ b \leq 0 $，则 $ a + b \leq 0 $，此时：

2. 异号情况：

- 如果 $ a $ 和 $ b $ 符号不同，则 $ a + b $ 的绝对值会小于 $

a + b

= a + b =

a + b

= -(a + b) = (-a) + (-b) =

$。

- 例如：$ a = 3, b = -2 $，则 $

3 + (-2)

= 1 < 3 + 2 = 5 $

因此，只有在 a 与 b 同号的情况下，才能使等号成立。

二、等号成立条件表格

情况	a 与 b 的符号	是否等号成立	举例说明
同号（正）	都为正	✅ 成立	$ a = 2, b = 3 $ → $	2+3	= 5 =	2	+	3	$
同号（负）	都为负	✅ 成立	$ a = -2, b = -3 $ → $	-2 + (-3)	= 5 =	−2	+	−3	$
异号	一正一负	❌ 不成立	$ a = 2, b = -3 $ → $	2 + (-3)	= 1 < 2 + 3 = 5 $
其中一个为0	任意	✅ 成立	$ a = 0, b = 5 $ → $	0 + 5	= 5 =	0	+	5	$

三、小结

绝对值三角不等式等号成立的条件是：两个实数的符号相同（都为非负或都为非正）。这不仅适用于简单的数值计算，也适用于向量、复数等更广泛的数学对象。掌握这一条件有助于我们在解题过程中更快判断是否满足等号条件，从而提高解题效率与准确性。

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