【关于正弦定理和余弦定理的所有公式】在三角函数的学习中，正弦定理和余弦定理是解决三角形问题的重要工具。它们广泛应用于几何、物理、工程等领域，尤其在已知部分边角信息时，能够帮助我们求解未知的边或角。以下是对正弦定理和余弦定理所有相关公式的总结。
一、正弦定理
正弦定理适用于任意三角形（非仅限于直角三角形），它描述了三角形中各边与其对角的正弦之间的关系。
公式表达：
对于任意三角形 $ \triangle ABC $，设其三边分别为 $ a, b, c $，对应的角为 $ A, B, C $，则有：
$$
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
$$
其中，$ R $ 是该三角形外接圆的半径。
应用场景：
- 已知两边及其夹角，求第三边；
- 已知两角及一边，求其他边；
- 求三角形外接圆半径。
二、余弦定理
余弦定理用于已知三角形的两边及其夹角，或者已知三边，求出角的情况。它是勾股定理的推广形式。
公式表达：
对于任意三角形 $ \triangle ABC $，三边分别为 $ a, b, c $，对应的角为 $ A, B, C $，则有：
$$
\begin{aligned}
a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cos A \\
b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cos B \\
c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cos C \\
\end{aligned}
$$
应用场景：
- 已知两边及其夹角，求第三边；
- 已知三边，求角；
- 在非直角三角形中，求角度或边长。
三、常用变形公式
根据正弦定理和余弦定理，可以推导出一些常用变形公式，便于实际应用。
正弦定理变形：
$$
\sin A = \frac{a}{2R}, \quad \sin B = \frac{b}{2R}, \quad \sin C = \frac{c}{2R}
$$
余弦定理变形（求角）：
$$
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \quad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}, \quad \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
$$
四、总结表格
| 定理名称 | 公式 | 适用条件 | 应用场景 |
| 正弦定理 | $ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $ | 任意三角形 | 已知两角及一边；已知两边及夹角；求外接圆半径 |
| 余弦定理 | $ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A $ $ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B $ $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $ | 任意三角形 | 已知两边及夹角；已知三边求角 |
| 正弦定理变形 | $ \sin A = \frac{a}{2R} $ 等 | 任意三角形 | 求角的正弦值；结合外接圆半径使用 |
| 余弦定理变形（求角） | $ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} $ 等 | 任意三角形 | 已知三边求角；计算角度 |
五、注意事项
1. 正弦定理适用于所有类型的三角形，而余弦定理同样适用于所有三角形。
2. 在使用正弦定理时，要注意“大边对大角”的原则，避免出现多解情况（如 SSA 情况）。
3. 余弦定理可以直接用于求角，避免了正弦定理可能带来的模糊性。
通过掌握这些公式和应用场景，可以更灵活地处理各种三角形问题。建议在实际解题过程中结合图形分析，提高解题准确率和效率。
