【微积分公式】微积分是数学中非常重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。它主要包括微分和积分两个部分，分别研究函数的变化率和累积量。以下是对常见微积分公式的总结，帮助读者快速掌握基本内容。
一、微分公式
微分用于计算函数在某一点的瞬时变化率，即导数。以下是常见的微分法则和公式：
| 公式 | 表达式 | 说明 |
| 常数导数 | $ \frac{d}{dx}(c) = 0 $ | c为常数 |
| 幂函数导数 | $ \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} $ | n为任意实数 |
| 指数函数导数 | $ \frac{d}{dx}(e^x) = e^x $ | 自然指数函数 |
| 对数函数导数 | $ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} $ | 自然对数函数 |
| 三角函数导数 | $ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x $ | 正弦函数导数 |
| 三角函数导数 | $ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x $ | 余弦函数导数 |
| 三角函数导数 | $ \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x $ | 正切函数导数 |
| 链式法则 | $ \frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ | 复合函数求导 |
二、积分公式
积分是微分的逆运算，用于计算函数在某个区间上的面积或累积值。积分分为不定积分和定积分两种形式。
1. 不定积分（原函数）
| 公式 | 表达式 | 说明 | ||
| 常数积分 | $ \int c \, dx = cx + C $ | C为积分常数 | ||
| 幂函数积分 | $ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | $ n \neq -1 $ | ||
| 指数函数积分 | $ \int e^x \, dx = e^x + C $ | 自然指数函数 | ||
| 对数函数积分 | $ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln | x | + C $ | 绝对值确保定义域 |
| 三角函数积分 | $ \int \sin x \, dx = -\cos x + C $ | 正弦积分 | ||
| 三角函数积分 | $ \int \cos x \, dx = \sin x + C $ | 余弦积分 | ||
| 三角函数积分 | $ \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C $ | 正切积分 |
2. 定积分
定积分用于计算函数在区间 [a, b] 上的面积，其计算公式为：
$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$
其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
三、常用积分技巧
| 技巧 | 说明 |
| 分部积分法 | $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $ |
| 替换法 | 通过变量替换简化积分表达式 |
| 有理函数分解 | 将复杂分数拆分成简单分式进行积分 |
| 三角代换 | 适用于含有根号的积分表达式 |
四、总结
微积分作为数学的重要工具，贯穿于多个学科领域。掌握基本的微分与积分公式，有助于理解和解决实际问题。本文通过表格形式系统整理了微分与积分的基本公式及应用技巧，便于学习者查阅和记忆。建议结合实例练习，以加深理解并提高应用能力。
