【常用积分公式】在数学学习和应用中，积分是一个非常重要的概念，尤其在微积分、物理、工程等领域有着广泛的应用。掌握一些常用的积分公式，可以大大提高解题效率和准确性。以下是一些常见的不定积分与定积分公式，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式（不定积分）
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \neq 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ |
二、三角函数积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a}\cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a}\sin(ax) + C $ | ||
| $ \sec x $ | $ \ln | \sec x + \tan x | + C $ |
| $ \csc x $ | $ -\ln | \csc x + \cot x | + C $ |
| $ \sec^2(ax) $ | $ \frac{1}{a}\tan(ax) + C $ | ||
| $ \csc^2(ax) $ | $ -\frac{1}{a}\cot(ax) + C $ |
三、反三角函数积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | $ \arcsin x + C $ |
| $ \frac{1}{1 + x^2} $ | $ \arctan x + C $ |
| $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} $ | $ \arcsec x + C $ |
| $ \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}} $ | $ \arccsc x + C $（视定义域而定） |
四、指数与对数函数积分
| 函数 $ f(x) $ | 积分结果 $ \int f(x) \, dx $ |
| $ \ln x $ | $ x \ln x - x + C $ |
| $ x e^{ax} $ | $ \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + C $ |
| $ e^{ax} \sin bx $ | $ \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \sin bx - b \cos bx) + C $ |
| $ e^{ax} \cos bx $ | $ \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a \cos bx + b \sin bx) + C $ |
五、有理函数积分公式（部分分式法）
对于形如 $ \frac{P(x)}{Q(x)} $ 的有理函数，若 $ P(x) $ 的次数小于 $ Q(x) $，可将其分解为部分分式，再逐项积分。例如：
- $ \frac{1}{(x - a)(x - b)} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{x - b} $
- $ \frac{1}{(x - a)^2} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{(x - a)^2} $
六、定积分常见公式（区间 [a, b]）
| 函数 $ f(x) $ | 定积分 $ \int_a^b f(x) \, dx $ |
| $ x^n $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） |
| $ \sin x $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \cos x $ | $ \sin b - \sin a $ |
| $ e^x $ | $ e^b - e^a $ |
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln b - \ln a $（$ a, b > 0 $） |
七、特殊函数积分（如伽马函数、贝塔函数等）
- 伽马函数：$ \Gamma(n) = \int_0^\infty x^{n-1} e^{-x} dx $，适用于正整数时 $ \Gamma(n) = (n - 1)! $
- 贝塔函数：$ B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1 - x)^{n-1} dx $
总结
掌握这些常用积分公式，有助于快速求解各类积分问题。实际应用中，还需结合换元法、分部积分、部分分式等技巧进行综合运用。建议在学习过程中多做练习，加深对公式的理解与灵活应用能力。
