【函数怎么求导】在数学中，导数是微积分的核心概念之一，用于描述函数在某一点处的变化率或斜率。掌握函数求导的方法对于理解函数的性质、优化问题以及物理和工程中的许多应用都至关重要。本文将总结常见的函数求导方法，并以表格形式清晰展示各类函数的导数公式。
一、基本求导法则
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则导数为 0。
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $，则导数为 $ f'(x) = nx^{n-1} $。
3. 指数函数的导数
- 若 $ f(x) = a^x $，则导数为 $ f'(x) = a^x \ln a $
- 若 $ f(x) = e^x $，则导数为 $ f'(x) = e^x $
4. 对数函数的导数
- 若 $ f(x) = \log_a x $，则导数为 $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $
- 若 $ f(x) = \ln x $，则导数为 $ f'(x) = \frac{1}{x} $
5. 三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \sin x = \cos x $
- $ \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x $
- $ \frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x $
- $ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x $
6. 反三角函数的导数
- $ \frac{d}{dx} \arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $
- $ \frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1 + x^2} $
7. 导数的四则运算法则
- 加法：$ (f + g)' = f' + g' $
- 减法：$ (f - g)' = f' - g' $
- 乘法：$ (fg)' = f'g + fg' $
- 除法：$ \left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $
8. 链式法则
若 $ y = f(g(x)) $，则导数为 $ \frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x) $
二、常见函数及其导数对照表
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = C $ | $ 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、总结
函数求导是数学分析的重要工具，掌握基本导数公式和运算规则是解决复杂问题的基础。通过熟练运用导数的定义、基本法则和常见函数的导数公式，可以高效地处理各种数学问题。建议在实际应用中多做练习，加深对导数的理解与运用能力。
如需进一步了解复合函数、隐函数或高阶导数等内容，可继续深入学习相关章节。
