【行列式的基本计算公式】行列式是线性代数中的一个重要概念，常用于判断矩阵是否可逆、求解线性方程组以及计算几何中的面积和体积等。行列式的计算方法因矩阵的阶数不同而有所差异，本文将对常见的行列式计算公式进行总结，并以表格形式展示。
一、行列式的基本定义
对于一个 $ n \times n $ 的方阵 $ A = (a_{ij}) $，其行列式记作 $
$$
\det(A) = \sum_{\sigma} \text{sgn}(\sigma) \cdot a_{1\sigma(1)} a_{2\sigma(2)} \cdots a_{n\sigma(n)}
$$
其中，$ \sigma $ 是 $ 1, 2, \dots, n $ 的所有排列，$ \text{sgn}(\sigma) $ 表示排列 $ \sigma $ 的符号（正或负）。
二、常见行列式的计算公式
以下是一些常见低阶矩阵的行列式计算公式：
| 矩阵类型 | 矩阵形式 | 行列式公式 | ||
| 1×1矩阵 | $ [a] $ | $ | A | = a $ |
| 2×2矩阵 | $ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $ | $ | A | = ad - bc $ |
| 3×3矩阵 | $ \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} $ | $ | A | = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) $ |
| 对角矩阵 | $ \begin{bmatrix} a_1 & 0 & 0 \\ 0 & a_2 & 0 \\ 0 & 0 & a_3 \end{bmatrix} $ | $ | A | = a_1 a_2 a_3 $ |
| 上三角/下三角矩阵 | $ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{bmatrix} $ | $ | A | = a_{11} a_{22} a_{33} $ |
三、行列式的性质
为了更高效地计算行列式，了解其基本性质也非常重要：
1. 行列式与转置：$ \det(A^T) = \det(A) $
2. 交换两行（列）：行列式变号
3. 某一行（列）乘以常数：行列式乘以该常数
4. 某一行（列）加到另一行（列）：行列式不变
5. 若有一行（列）全为零：行列式为零
6. 若两行（列）相同：行列式为零
四、行列式的应用
- 求解线性方程组：克莱姆法则
- 判断矩阵是否可逆：当且仅当 $ \det(A) \neq 0 $
- 计算向量的叉积（在三维空间中）
- 计算面积与体积（如平行四边形、平行六面体）
五、小结
行列式是矩阵的重要属性之一，其计算方式随着矩阵阶数的不同而变化。对于低阶矩阵，可以直接使用公式计算；对于高阶矩阵，则通常通过展开法、三角化或利用行列式的性质来简化计算。掌握这些基本公式和性质，有助于更深入理解线性代数的核心内容。
注：本文内容基于基础线性代数知识整理，适合初学者理解和参考。
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