【久期的计算公式】久期是衡量债券价格对利率变动敏感度的重要指标，广泛应用于固定收益证券的分析与管理中。它可以帮助投资者评估投资组合的利率风险，并制定相应的风险管理策略。本文将总结久期的基本概念、计算方法及应用。
一、久期的基本概念
久期（Duration）是指债券的平均到期时间，以年为单位表示。它不仅考虑了债券的到期时间，还考虑了每笔现金流的时间和金额，因此能更准确地反映债券价格对利率变化的反应程度。
常见的久期类型包括：
- 麦考利久期（Macaulay Duration）：衡量债券现金流量的加权平均时间。
- 修正久期（Modified Duration）：用于估算债券价格对利率变化的百分比变动。
二、久期的计算公式
1. 麦考利久期（Macaulay Duration）
$$
\text{Macaulay Duration} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{\sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1 + y)^t}}
$$
其中：
- $ C_t $：第 $ t $ 期的现金流（包括利息和本金）
- $ y $：债券的到期收益率（Yield to Maturity, YTM）
- $ t $：现金流发生的时间点（以年为单位）
- $ n $：债券的总期数
2. 修正久期（Modified Duration）
$$
\text{Modified Duration} = \frac{\text{Macaulay Duration}}{1 + y}
$$
修正久期用于估算债券价格对利率变动的敏感度，其计算公式为：
$$
\Delta P \approx -D \cdot P \cdot \Delta y
$$
其中：
- $ \Delta P $：债券价格的变化
- $ D $：修正久期
- $ P $：当前债券价格
- $ \Delta y $：利率的变化（以小数表示）
三、久期计算示例
以下是一个简单债券的久期计算示例，帮助理解实际操作过程。
| 期数 $ t $ | 现金流 $ C_t $ | 折现因子 $ \frac{1}{(1+y)^t} $ | 现值 $ PV_t = C_t \times \text{折现因子} $ | 时间加权现值 $ t \times PV_t $ |
| 1 | 50 | 0.9434 | 47.17 | 47.17 |
| 2 | 50 | 0.8900 | 44.50 | 89.00 |
| 3 | 1050 | 0.8396 | 881.58 | 2,644.74 |
| 合计 | 1150 | — | 973.25 | 2,780.91 |
假设到期收益率 $ y = 6\% $，则：
- 麦考利久期 = $ \frac{2,780.91}{973.25} \approx 2.85 $ 年
- 修正久期 = $ \frac{2.85}{1 + 0.06} \approx 2.69 $ 年
四、久期的应用
| 应用场景 | 说明 |
| 利率风险评估 | 久期越长，债券价格对利率变动越敏感，风险越高 |
| 投资组合管理 | 通过调整久期，可以控制投资组合的整体利率风险 |
| 债券定价 | 久期可作为债券价格变动的参考指标，辅助判断买卖时机 |
| 对冲策略 | 久期匹配可用于对冲利率风险，例如通过互换或衍生品进行套期保值 |
五、总结
久期是衡量债券价格对利率变化敏感度的核心工具，其计算基于债券未来现金流的现值和时间权重。通过麦考利久期和修正久期，投资者可以更好地理解债券的风险特征并优化投资决策。
| 指标名称 | 公式 | 用途 |
| 麦考利久期 | $ \frac{\sum t \cdot \frac{C_t}{(1 + y)^t}}{\sum \frac{C_t}{(1 + y)^t}} $ | 衡量债券的平均到期时间 |
| 修正久期 | $ \frac{\text{Macaulay Duration}}{1 + y} $ | 估算债券价格对利率变动的敏感度 |
| 价格变动近似公式 | $ \Delta P \approx -D \cdot P \cdot \Delta y $ | 用于快速估算利率变动影响 |
如需进一步了解久期在实际投资中的应用，建议结合具体案例进行分析。
