【两个向量相乘公式是什么】在向量运算中，两个向量相乘并不是像标量那样简单地相乘，而是根据不同的应用场景有不同的定义。最常见的两种向量乘法是点积（数量积）和叉积（向量积）。下面将对这两种乘法进行总结，并通过表格形式清晰展示它们的定义、性质和应用。

一、点积（数量积）

定义：

两个向量 a 和 b 的点积，记作 a · b，其结果是一个标量，表示为：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b} \cos\theta

$$

其中，θ 是两向量之间的夹角，a 和 b 分别是向量 a 和 b 的模长。

另一种计算方式（坐标形式）：

如果向量 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则：

$$

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

特点：

- 结果是标量

- 与向量方向有关，当两向量垂直时，点积为0

- 满足交换律：a · b = b · a

二、叉积（向量积）

定义：

两个向量 a 和 b 的叉积，记作 a × b，其结果是一个向量，该向量垂直于原两个向量所在的平面，方向由“右手法则”决定，大小为：

$$

$$

坐标形式：

若 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则：

$$

\mathbf{a} \times \mathbf{b} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

$$

特点：

- 结果是向量

- 与向量的方向有关，当两向量平行时，叉积为零向量

- 不满足交换律：a × b = -b × a

三、对比总结

四、实际应用

- 点积常用于计算力在某个方向上的投影、判断两向量是否垂直等。

- 叉积常用于计算面积、扭矩、磁场中的受力等物理问题。

综上所述，两个向量相乘的公式根据不同的运算规则分为点积和叉积，它们分别适用于不同的情境，具有不同的数学性质和物理意义。理解这些公式有助于更好地掌握向量运算的基本概念和应用方法。