【一元二次方程求根公式】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。这类方程的解法通常通过求根公式来实现，能够快速找到方程的两个实数或复数解。
一元二次方程的求根公式为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
该公式由配方法推导而来，适用于所有形式的一元二次方程。公式中的 $ b^2 - 4ac $ 被称为判别式（Discriminant），用于判断方程的根的性质：
- 当 $ b^2 - 4ac > 0 $ 时，方程有两个不相等的实数根；
- 当 $ b^2 - 4ac = 0 $ 时，方程有两个相等的实数根（即重根）；
- 当 $ b^2 - 4ac < 0 $ 时，方程有两个共轭的复数根。
以下是一些典型一元二次方程及其对应的求根过程与结果总结：
| 方程 | 系数 $ a $ | 系数 $ b $ | 系数 $ c $ | 判别式 $ D = b^2 - 4ac $ | 根的情况 | 求根公式应用结果 |
| $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ | 1 | -5 | 6 | 1 | 两个不等实根 | $ x = 2, 3 $ |
| $ x^2 + 4x + 4 = 0 $ | 1 | 4 | 4 | 0 | 两个相等实根 | $ x = -2 $ |
| $ x^2 + 2x + 5 = 0 $ | 1 | 2 | 5 | -16 | 两个共轭复根 | $ x = -1 \pm 2i $ |
| $ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $ | 2 | -8 | 6 | 16 | 两个不等实根 | $ x = 1, 3 $ |
| $ 3x^2 + 6x + 2 = 0 $ | 3 | 6 | 2 | 12 | 两个不等实根 | $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{3} $ |
通过上述表格可以看出，利用一元二次方程的求根公式可以高效地求出方程的解，无论其根是实数还是复数。掌握这一公式对于解决实际问题、进行数学建模具有重要意义。
总之，一元二次方程的求根公式不仅是一种数学工具，更是理解二次函数性质和图像变化的关键。
