【几何布朗运动】一、
几何布朗运动（Geometric Brownian Motion, GBM）是金融数学中一个非常重要的随机过程，广泛用于描述股票价格等资产的动态变化。它在Black-Scholes期权定价模型中扮演着核心角色，是现代金融理论的基础之一。
GBM 是一种连续时间的随机过程，其特点是资产价格的变化与当前价格成比例，并且受到随机扰动的影响。这种特性使得 GBM 能够很好地模拟现实世界中资产价格的波动行为，如股票价格的上升和下降趋势。
GBM 的数学表达式为：
$$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $$
其中：
- $ S_t $ 表示时间 $ t $ 时的资产价格；
- $ \mu $ 是漂移率，表示资产的平均增长率；
- $ \sigma $ 是波动率，表示价格的不确定性或风险；
- $ W_t $ 是标准布朗运动（Wiener 过程）。
该过程的一个重要性质是，资产价格在对数尺度上服从正态分布，因此可以利用对数正态分布来建模。
GBM 在实际应用中具有一定的局限性，例如它假设价格始终为正，且波动率恒定，这与现实中某些市场情况不完全相符。然而，由于其形式简单、易于处理，GBM 仍然是金融建模中最常用的工具之一。
二、表格：几何布朗运动关键要素总结
| 项目 | 内容 |
| 中文名称 | 几何布朗运动 |
| 英文名称 | Geometric Brownian Motion (GBM) |
| 数学表达式 | $ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t $ |
| 漂移项 | $ \mu S_t dt $，表示期望增长 |
| 随机项 | $ \sigma S_t dW_t $，表示价格波动 |
| 假设前提 | 资产价格持续为正；波动率恒定；无套利机会 |
| 对数形式 | $ \ln(S_t) \sim N\left( \ln(S_0) + (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2)t, \sigma^2 t \right) $ |
| 应用领域 | 股票价格建模、期权定价（如 Black-Scholes 模型）、风险管理 |
| 优点 | 简单易处理；符合金融直觉；便于推导解析解 |
| 缺点 | 忽略跳跃、依赖历史数据、无法反映市场突变 |
三、结语
几何布朗运动作为一种经典的随机过程，虽然在某些方面存在局限，但其在金融领域的广泛应用证明了它的实用价值。理解 GBM 的基本原理，有助于更好地掌握现代金融分析中的许多核心概念和方法。
