【三角函数的公式】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。三角函数主要包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数，以及它们的倒数函数如余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。以下是对常见三角函数公式的总结，并以表格形式进行展示，便于理解和记忆。
一、基本三角函数定义
| 函数名称 | 定义式 | 说明 |
| 正弦（sin） | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中，角θ的对边与斜边的比值 |
| 余弦（cos） | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中，角θ的邻边与斜边的比值 |
| 正切（tan） | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $ | 在直角三角形中，角θ的对边与邻边的比值 |
二、常用三角恒等式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 基本恒等式 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ | 三角函数的基本关系 |
| 正切与余切关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $, $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} $ | 表示正切与余切之间的互为倒数关系 |
| 正割与余割关系 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $, $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 表示正割与余割的定义 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta \cdot \csc\theta = 1 $, $ \cos\theta \cdot \sec\theta = 1 $, $ \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 $ | 三角函数与其倒数之间的乘积为1 |
三、诱导公式（角度转换）
| 角度变化 | 公式表达式 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ | 正弦是奇函数 |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ | 余弦是偶函数 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ | 正弦在补角中的值不变 |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 余弦在补角中的值变号 |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 正弦在反向角中的值变号 |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 余弦在反向角中的值变号 |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦和差公式 | $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $ | 用于计算两个角的正弦和差 |
| 余弦和差公式 | $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $ | 用于计算两个角的余弦和差 |
| 正切和差公式 | $ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $ | 用于计算两个角的正切和差 |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦倍角公式 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ | 计算两倍角的正弦值 |
| 余弦倍角公式 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ | 有多种表示方式，可用于不同场景 |
| 正切倍角公式 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 用于计算两倍角的正切值 |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦半角公式 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 用于计算半角的正弦值 |
| 余弦半角公式 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 用于计算半角的余弦值 |
| 正切半角公式 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 有多种表达方式，适用于不同问题 |
七、积化和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 正弦乘积公式 | $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) - \cos(A + B)] $ | 将正弦乘积转化为余弦之差 |
| 余弦乘积公式 | $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A - B) + \cos(A + B)] $ | 将余弦乘积转化为余弦之和 |
| 正弦与余弦乘积 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)] $ | 用于处理正弦与余弦的乘积 |
总结
三角函数的公式种类繁多，涵盖基本定义、恒等式、角度变换、和差公式、倍角公式、半角公式及积化和差等多个方面。掌握这些公式不仅有助于理解三角函数的本质，还能在实际应用中提高解题效率。建议通过反复练习和实际应用来加深对这些公式的理解与记忆。
