【复数乘法法则】在数学中，复数是由实部和虚部组成的数，形式为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。复数的乘法是将两个复数相乘的过程，其结果仍是一个复数。为了更好地理解和应用复数乘法，我们总结了复数乘法的基本法则，并通过表格进行清晰展示。
一、复数乘法的基本法则
1. 分配律：
复数乘法遵循分配律，即 $ (a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di) $。
这一步可以展开为 $ ac + adi + bci + bdi^2 $。
2. 虚数单位的平方：
在计算过程中，需要记住 $ i^2 = -1 $，因此 $ bdi^2 = -bd $。
3. 合并同类项：
将实部和虚部分别合并，最终得到一个标准形式的复数 $ (ac - bd) + (ad + bc)i $。
4. 运算顺序：
先进行乘法运算，再处理虚数单位的平方，最后合并同类项。
5. 结合律与交换律：
复数乘法满足结合律和交换律，即 $ (a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi) $，且 $ [(a + bi)(c + di)](e + fi) = (a + bi)[(c + di)(e + fi)] $。
二、复数乘法法则总结表
| 法则名称 | 内容说明 |
| 分配律 | 复数乘法可分解为多个项的乘积之和，如 $ (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 $ |
| 虚数单位平方 | $ i^2 = -1 $，用于简化含有 $ i^2 $ 的项 |
| 合并同类项 | 实部和虚部分别合并，最终得到 $ (ac - bd) + (ad + bc)i $ |
| 运算顺序 | 先进行乘法，再处理 $ i^2 $，最后合并同类项 |
| 结合律与交换律 | 复数乘法满足结合律和交换律，保证运算顺序不影响结果 |
三、示例演示
计算 $ (2 + 3i)(1 + 4i) $：
1. 展开：
$ 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i = 2 + 8i + 3i + 12i^2 $
2. 合并同类项：
$ 2 + 11i + 12i^2 $
3. 替换 $ i^2 = -1 $：
$ 2 + 11i - 12 = -10 + 11i $
最终结果为：$ -10 + 11i $
通过以上内容，我们可以清晰地理解复数乘法的规则和操作步骤，便于在实际问题中灵活运用。
